Nato a Imola nel 1732, figlio di Domenico Morelli, un costruttore di origine ticinese, terra natale di architetti e capomastri molto apprezzati nell'Italia settentrionale e centrale.
Cosimo ha compiuto la sua formazione in ambito familiare presso il prozio materno, l'architetto Domenico Trifogli, anch'esso ticinese.
I suoi esordi avvennero in cantieri diretti dal padre: S. Maria dell'Ulivo e il Conservatorio delle Donzelle a Imola, il monastero delle Carmelitane a Massalombarda. Frequenti furono, a partire dal 1759, i suoi viaggi a Roma, presso lo studio del marchese architetto Gerolamo Theodoli, ove si era recato su invito del vescovo d'Imola Giancarlo Bandi, per far visionare i progetti di ricostruzione della chiesa cattedrale di San Cassiano. La permanenza, a più riprese, in questa città permise al Morelli di mettersi in contatto con i più facoltosi esponenti del clero romano, in particolare il cardinale Giovanni Braschi, divenuto nel 1775 papa Pio VI.
La sua rete di conoscenze gli permise di ottenere la carica di architetto pontificio e commissioni in tutto il territorio dello Stato Pontificio, Roma compresa. Molti gli edifici civili e religiosi da lui progettati, in particolare nella regione Marche quali, ad esempio, le cattedrali di Macerata, Fermo e Fossombrone e i teatri di Jesi, Fermo e Osimo, mentre a Roma si deve a lui palazzo Braschi.
Si è occupato di edilizia privata, pubblica, religiosa e teatrale realizzando numerosi edifici a Imola, fra i quali san Cassiano, santa Maria in Regola, il Vescovado, il Palazzo comunale, l'Ospedale e il Teatro dei Cavalieri associati, distrutto da incendio nel 1797, ma anche in molte altre città della Romagna.
Fra gli edifici civili più importanti si ricorda anche la sua villa personale, non più esistente, situata presso l'orto Vaina, di cui sono conservati nella Biblioteca comunale di Imola disegni e incisioni. Fu proprio in questa residenza che Cosimo Morelli accolse papa Pio VI, di ritorno da Vienna nel maggio del 1782, durante la visita alla città di Imola.
Particolarmente eclettico, trovò soluzioni innovative nella progettazione di teatri e fu il "fondatore" della frazione di Sasso Morelli, dove si cimentò fra il 1780 e il 1785  nella realizzazione di un borgo per i contadini, che sorgeva attorno a una piazza quadrilatera, di là dal fiume Correcchio, a fianco della sua villa.
Cosimo Morelli trascorse gli ultimi anni della sua vita malato e in condizioni di indigenza a causa di numerosi dissesti finanziari. Morì il 26 febbraio 1812, nella sua residenza imolese di palazzo Vaini, e fu sepolto nella tomba della stessa famiglia nella chiesa di Santa Maria in Regola.
Per approfondimenti cfr:

- biografia di Davide Righini sul Dizionario biografico degli Italiani
- biografia di  M.F. Nicoletti e U. Stevens in Artisti ticinesi in Europa dal XIII° al XIX° secolo